Question

【题目】口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．

（1）求；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）分别求出每次取出的球是白球和黑球的概率，由题意知最多抽3次，获奖即连续两次为白球或者前两次中有一次是白球第三次也是白球，求出其概率和即可；

（2）依据取出白球次数是，可分为以下情况：前n次取出n次白球，第n+1次取出的是白球，前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，，前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，分别求出对应的概率，相加可得，通过作差结合组合数性质即可得结果.

（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为，

所以；

（2）证明：累计取出白球次数是的情况有：

前n次取出n次白球，第n+1次取出的是白球，概率为

前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，概率为

前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为

前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，概率为

则

因此

则

因为，

所以，因此．