Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，曲线上任意一点到的距离等于该点到直线的距离．

（Ⅰ）求及曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆只有一个交点，与曲线交于两点，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲线的方程为；（Ⅱ）0．

【解析】

解：（Ⅰ）由题意得，则，设为曲线上任意一点，由题意得，化简即可；

（Ⅱ）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程并消元，可求得，且，联立直线与曲线的方程消元，可得， 而，，根据三角形面积公式，将数据代入到即可求出结论．

解：（Ⅰ）由知该椭圆的焦点在轴上，

∴，解得，

设为曲线上任意一点，

由题意得，化简得，

∴，曲线的方程为；

（Ⅱ）设直线的方程为，，，，

由，得，

∴，

∵直线与椭圆只有一个交点，

∴，∴，

且，，①

由，得，

∴，②

由曲线的定义知，，

设点到直线的距离为，

∴，

将①②代入分子，

∴．