Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），若四边形的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）离心率提供与的关系，四个顶点构成的四边形对角线互相垂直，列出等量关系求，的值；

（2）直线经过点,由直线点斜式方程设出直线的方程，并设出直线与椭圆交点、的坐标，联立方程，由韦达定理可表示出的中点的坐标；由中点的坐标可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，利用韦达定理可求，再利用点到直线距离公式可求点、到直线的距离，由四边形的面积为可列出等量关系，最后可求出直线的方程.

解：（1）由题意可得，

解得，，

故椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，.

联立，整理得，

则，，

从而，故，

直线的斜率为，所以直线的方程为，

即.

联立，整理得，

则.

设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，

从而.

∵点，在直线的两侧，

∴，

∴，则，

∵，

∴，

则四边形的面积，

∵四边形的面积为，

∴，解得，

故直线的方程为.