Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，若，问直线是否存在？若存在，求直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线存在，且直线的斜率的取值范围是．

【解析】

（1）由题意，，解方程组即可；

（2）分直线垂直于轴和直线不垂直于轴两种情况讨论，当直线垂直于轴时，易得，，，不符合题意；当直线不垂直于轴时，设，，直线方程为，联立椭圆方程得到根与系数的关系，代入的坐标表示中，即可得到关于的不等式，解不等式即可.

（1）设椭圆的半焦距为．

在中，令，得，解得．

由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，

得，

所以．①

因为直线与椭圆相切，则．②

将②代入①，得．

故椭圆的标准方程为．

（2）设点，．

易知点，当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为．

联立，得，

则恒成立．

所以，，

．

因为，

所以，即．

即，

得，得，

即，解得．

当直线的斜率不存在时，点，，，，

此时，，不符合题意，故舍去．

综上，直线存在，且直线的斜率的取值范围是．