Question

15．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）若g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值为$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，最小值为1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π，可得函数f（x）的周期T=π，即可求ω的值．
（2）根据x在[0，$\frac{π}{2}}$]上，求出f（x）的最值，对a进行讨论．即可求出a，b的值．可得a+b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0），
∵f（x）的最大值为$\sqrt{3}$，直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2ω}$=π．
∴ω=1．
故得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上时，
可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
当2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值为：$\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$-\frac{3}{2}$．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为：$\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$．
当a＞0时，g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值为$\sqrt{3}$a+b．
可得：$\sqrt{3}$a+b=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$…①，
最小值为$-\frac{3}{2}$a+b=1…②
由①②解得：a=1，b=$\frac{5}{2}$．
则：a+b=1+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$．
当a＜0时，g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值为$-\frac{3}{2}$a+b．
可得：$-\frac{3}{2}$a+b=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$…③，
最小值为$\sqrt{3}$a+b=1…④
由③④解得：a=-1，b=$\sqrt{3}$+1．
则：a+b=-1+1+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．