Question

20．如图在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，D为BC边上一点（含端点），$\overrightarrow{DC}=λ\overrightarrow{BD}（λ≥0）$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和向量的数量积即可求出

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=-1，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}=λ\overrightarrow{BD}（λ≥0）$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{λ}{1+λ}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$）（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{1+λ}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{λ}{1+λ}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{λ-1}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{1+λ}$-$\frac{λ}{1+λ}$-$\frac{λ-1}{1+λ}$=$\frac{5-2λ}{1+λ}$=-2+$\frac{7}{1+λ}$≤-2+7=5，
故则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的最大值为5，
故答案为：5．

点评 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题