Question

1．已知抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．

解答 解：抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F（$\sqrt{3}$，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，
过B做BE⊥AD，
由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则丨$\overrightarrow{AF}$丨=丨$\overrightarrow{FB}$丨，
∴|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，
∴直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$x-3，
联立直线AB与抛物线的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-3}\\{{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10$\sqrt{3}$x+9=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，则丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
而原点到直线AB的距离为d=$\frac{丨0-\sqrt{3}×0+3丨}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
则三角形△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{16\sqrt{3}}{3}$•$\frac{3}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求S=4$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．