Question

3．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\sqrt{5}cosα\\ y=m+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数，0≤α＜2π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsinθ-2ρcosθ=t．其中t＞0，m＞0，m-t=3．
（Ⅰ）若曲线C₁与曲线C₂只有一个公共点，求实数m，t的值；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂的交点为A，B，求AB中点D，求AB中点D的轨迹的普通方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出C₁和C₂的普通方程，得到关于m，t的方程组，解出即可；
（Ⅱ）联立C₁和C₂，根据二次函数的性质得到△＞0，求出m的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），求出x，y，求出点D的轨迹的普通方程即可．

解答 解：（Ⅰ）由题可知，曲线C₁的普通方程为（x-m）²+（y-m）²=5；
曲线C₂的直角坐标方程为2x-y+t=0．
∵曲线C₁与曲线C₂只有一个公共点，
∴$\frac{|m+t|}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\sqrt{5}$，解得m+t=5，
又m-t=3，∴m=4，t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C₁的普通方程为（x-m）²+（y-m）²=5；
曲线C₂的直角坐标方程为2x-y+m-3=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-m）^2}+{（y-m）^2}=5\\ y=2x+m-3\end{array}\right.$得5x²-2（m+6）x+m²+4=0，
依题意得△=4（m+6）²-20（m²+4）＞0，解得-1＜m＜4，
又m＞0，∴0＜m＜4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），则${x_1}+{x_2}=\frac{2（m+6）}{5}$，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{m+6}{5}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{7m-3}{5}$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+6}{5}\\ y=\frac{7m-3}{5}\end{array}\right.$消参数m得7x-y-9=0（$\frac{6}{5}＜x＜2$）．
∴点D的轨迹的普通方程为7x-y-9=0（$\frac{6}{5}＜x＜2$）．

点评 本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．