Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，得到单调区间，找到函数最值，从而确定a的值．

解答： 解：f（x）=ax（x-2）²=a（x³-4x²+4x）．
∴f′（x）=a（3x²-8x+4）=a（3x-2）（x-2）．
由f′（x）=0，得x=

2

3

或x=2，
当a＞0时，x变化时，f′x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴f（x）在x=

2

3

时，取极大值；
由f（

2

3

）=32，得a=27，
当a＜0时，x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=2时，取极大值，
由f（2）=32，得a不存在，
∴a=27．

点评：本题考察了函数的单调性，导数应用，求函数的最值，求参数a的范围，本题是一道中档题．