Question

2．已知圆C：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$，一动圆与直线x=-$\frac{1}{2}$相切且与圆C外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为x=my+6，联立抛物线方程，利用$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0，代入化简可得（m²+6）（3m²-2）=0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则由题意，|PC|-（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意，设直线l的方程为x=my+6，联立抛物线方程可得y²-4my-24=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24①，
∴x₁+x₂=4m²+12②，x₁x₂=36③
假设存在N（x₀，y₀），使得NA⊥NB，则y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2m④，
∴x₀=m²⑤，
∵$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0，
∴代入化简可得（m²+6）（3m²-2）=0，
∴m=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴存在直线l：x=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$y+6，使得NA⊥NB，

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，难度大．