Question

17．某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共n（n∈N^*）份，每份糕点的成本1元，售价2元，如果当天卖不完，剩下的糕点作废品处理，该早餐店发现这两种糕点每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种糕点的日销量（单位：份），得到如下统计数据：

甲口味糕点日销量	48	49	50	51
天数	20	40	20	20

乙口味糕点日销量	48	49	50	51
天数	40	30	20	10

以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种糕点的日销量相互独立．
（1）记该店这两种糕点每日的总销量为X份，求X的分布列；
（2）早餐店为了减少浪费，提升利润，决定调整每天制作糕点的份数．
①若产生浪费的概率不超过0.6，求n的最大值；
②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一，应选哪个？

Answer 1

分析 （1）由题意知X的可能取值为96，97，98，99，100，101，102，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）①求出P（X=96）+P（X=97）=0.3，P（X=96）+P（X=97）+P（X=99）=0.54，由此能求出n的最大值．
②由（1）知在每天所制糕点能全部卖完时，n=96，此时销售这两种糕点的日总利润的期望值为96．再求出当n=98时，销售这两种糕点的日总利润的期望值，由此得到应选n=98．

解答 解：（1）由题意知X的可能取值为96，97，98，99，100，101，102，
P（X=96）=0.2×0.4=0.08，
P（X=97）=0.2×0.3+0.4×0.4=0.22，
P（X=98）=0.4×0.3+0.2×0.2+0.2×0.4=0.24，
P（X=99）=0.2×0.1+0.4×0.2+0.4×0.2+0.2×0.3=0.24，
P（X=100）=0.4×0.1+0.3×0.2+0.2×0.2=0.14，
P（X=101）=0.2×0.1+0.2×0.2=0.06，
P（X=102）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列为：

X	96	97	98	99	100	101	102
P	0.08	0.22	0.24	0.24	0.14	0.06	0.02

（2）①∵产生浪费的概率不超过0.6，
P（X=96）+P（X=97）=0.08+0.22=0.3，
P（X=96）+P（X=97）+P（X=99）=0.08+0.22+0.24=0.54，
∴n的最大值为98．
②由（1）知在每天所制糕点能全部卖完时，n=96，
此时销售这两种糕点的日总利润的期望值为96．
当n=98时，销售这两种糕点的日总利润的期望值为：98+（-2×0.08）+（-1×0.22）=97.62．
∴应选n=98．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，属于中档题．