Question

3．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占$\frac{8}{13}$，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	15	4	19
周做题时间不足15小时	10	16	26
合计	25	20	45

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断在“犯错误概率不超过0.01”的前提下，能否认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间有相关关系”；
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，若在上述9名学生中随机抽取2人，求至少1人分数不足120分的概率．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给数据完成上面的2×2列联表，求出K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）列举法确定基本事件，即可得出在上述9名学生中随机抽取2人，至少1人分数不足120分的概率．

解答 解：（Ⅰ）

	分数大于等于120分）	分数不足120分）	合计
周做题时间不少于15小时	15	4	19
周做题时间不足15小时	10	16	26
合计	25	20	45

…．（2分）∵${K^2}=\frac{{45{{（15×16-10×4）}^2}}}{25×20×19×26}≈7.29＞6.635$∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”…..…..（6分）
（Ⅱ）（ i）由分层抽样知大于等于120分的有5人，设为a，b，c，d，e；不足120分的有4人，设为x，y，z，m…．（7分）
所有基本事件为36个：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，x）（a，y）（a，z）（a，m）（b，c）（b，d）（b，e）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，d）（c，e）（c，x）（c，y）（c，z）（c，m）（d，e）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…（8分）
设至少一人分数不足120分为事件A，
则A中包含26个基本事件：（a，z）（a，m）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，x）（a，x）（a，y）（c，y）（c，z）（c，m）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…..（10分）
∴$P（A）=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}$…..（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．