Question

7．设函数f（x）=x-|x+2|-|x-3|-m，若?x∈R，$\frac{1}{m}$-4≥f（x）恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）求证：log_（m+1）（m+2）＞log_（m+2）（m+3）

Answer 1

分析 （1）由?x∈R，$\frac{1}{m}$-4≥f（x）恒成立，可得m+$\frac{1}{m}$≥x-|x+2|-|x-3|+4，求出右边的最大值，即可求m的取值范围；
（2）利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．

解答 （1）解：∵?x∈R，$\frac{1}{m}$-4≥f（x）恒成立，
∴m+$\frac{1}{m}$≥x-|x+2|-|x-3|+4，
令g（x）=x-|x+2|-|x-3|+4，则g（x）在（-∞，3）上是增函数，
（3，+∞）上是减函数，g（x）_max=g（3）=2，
∴m+$\frac{1}{m}$≥2，∴m＞0；
（2）证明：m＞0，可得m+3＞m+2＞m+1＞1，
则lg（m+3）＞lg（m+2）＞lg（m+1）＞lg1=0，
∵lg（m+1）lg（m+3）＜$[\frac{lg（m+1）+lg（m+3）}{2}]^{2}$=$\frac{[lg（m+1）（m+3）]^{2}}{4}$＜lg²（m+2），
∴$\frac{lg（m+2）}{lg（m+1）}＞\frac{lg（m+3）}{lg（m+2）}$，
∴log_（m+1）（m+2）＞log_（m+2）（m+3）．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查对数的性质、基本不等式的运用，属于中档题．