Question

已知定义在R上的函数f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=

3

2

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解方程即可；
（2）将m分离出来，然后求等号另一边关于x的函数的最值，借助于单调性求该函数的最值．

解答： 解：（1）由f(x)=

3

2

⇒2x-

1

2x

=

3

2

⇒2•(2x)2-3•2x-2=0．
（2^x-2）（2^x+1）=0
∵2^x＞0⇒2^x=2⇒x=1．
（2）由2tf(2t)+mf(t)≥0⇒2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0
m（2^t-2^-t_）≥-2^t（2^2t-2^-2t），
又t∈[1，2]⇒2^t-2^-t＞0，
m≥-2^t（2^t+2^-t）
即m≥-2^2t-1．
只需m≥（-2^2t-1）_max
令y=-2^2t-1，易知该函数在t∈[1，2]上是减函数，所以ymax=-22-1=-5．
综上 m≥-5．

点评：本题的第二问要仔细体会将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解得基本思路，要注意总结．同时要注意利用换元法在此类问题时，中间变量t的范围．