Question

12．斜率为1的动直线L与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设直线L的方程为：y=x+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m，n）．可得y₁=x₁+t，y₂=x₂+t，t=n-m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x²+4tx+2t²-4=0，|MP|=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+（{y}_{1}-n）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-m）^{2}}$，同理可得：|MQ|=$\sqrt{2（{x}_{2}-m）^{2}}$．利用|MP|•|MQ|=2，代入化简即可得出．

解答 解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m，n）．
则y₁=x₁+t，y₂=x₂+t，t=n-m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：3x²+4tx+2t²-4=0，
△=16t²-12（2t²-4）＞0，解得：t²＜6．∴x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-4}{3}$．
|MP|=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+（{y}_{1}-n）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-m）^{2}}$，
同理可得：|MQ|=$\sqrt{2（{x}_{2}-m）^{2}}$．
∵|MP|•|MQ|=2，∴1=|（x₁-m）（x₂-m）|=$|{x}_{1}{x}_{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}|$，
∴m²+2n²=1或7．
∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m²+2n²=1或7．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．