Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x∈[0，+∞）上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²．f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表即可得出单调区间．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，由于f（x）在x∈[0，+∞）上是增函数，可得f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．化简利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²．
f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．
令f′（x）=0，解得x=0或ln2．
列表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（ln2，+∞），单调递减区间为（0，ln2）．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，
∵f（x）在x∈[0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．
当x=0时，f′（x）=0；
当x＞0时，xe^x-2kx≥0，化为k≤

ex

2

．
∴k≤

1

2

．
∴实数k的取值范围是(-∞，

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．