Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²（其中a＞0）上任意一点与点P（0，

1

4a

）的距离等于它到直线y=-1的距离．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点M的坐标为（0，2），N为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由抛物线的定义知P（0，

1

4a

）是其焦点，且

1

4a

=1，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设N（2x，x²），则MN的中点H的坐标为H（x，1+

x2

2

），设直线l的方程为y=c，则点H到直线l的距离为d=|

x2+2

2

-c|，由此能推导出存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数，直线l的方程为y=1．

解答： 解：（本题满分14分）
（I）由抛物线的定义知P（0，

1

4a

）是其焦点，且

1

4a

=1，…（3分）
∴a=

1

4

，抛物线方程为y=

1

4

x2．…（4分）
（Ⅱ）设N（2x，x²），则MN的中点H的坐标为H（x，1+

x2

2

），…（6分）
设直线l的方程为y=c，
则点H到直线l的距离为d=|

x2+2

2

-c|，…（7分）
|MN|²=4x²+（x²-2）²=x⁴+4，…（8分）
设所求弦长为L，则L²=|MN|²-4d²=x⁴+4-4（

x2+2

2

-c）²=4x²（c-1）+8c-4c²，…（11分）
若弦长L恒为常数，即L的值与x的值无关，
所以c=1，L=2…（13分）
所以存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数，
此直线l的方程为y=1．…（14分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．