Question

已知定义在R奇函数f（x）=

2x-a

2x+b

．
（1）求a、b的值；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意得出

f(0)=0 f(-1)=f(1)

可求a，b的值，
（2）运用定义得出f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x2+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，根据y=2^x是R上的增函数，判断因式的符号，即可得出单调性．

解答： 解：（1）因为f（x是R上的奇函数，
所以

f(0)=0 f(-1)=f(1)

，即

1-a 1+b =0 1 2 -a 1 2 +b =- 2-a 2+b

，
解得

a=1 b=1

；
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x2+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，所以2 xx-2x2＜0，又（2 x1+1）（2 x2+1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函数；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，所以0＜

2

2x+1

＜2，所以-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜＜1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查了指数函数的性质，运用定义判断函数的单调性，关键是分解因式，判断因式的符号．