Question

19．已知函数f（x）为定义在R上的增函数，若对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并证明f（x）为R上的奇函数；
（2）若f（1）=2，解关于x的不等式f（x）-f（3-x）＜4．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0计算f（0）=0，再令y=-x即可得出f（x）+f（-x）=0，得出结论；
（2）计算f（2）=4，将不等式移项得出f（x）＜f（2）+f（3-x）=f（5-x），利用函数的单调性得出不等式解出x．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为R上奇函数．
（2）f（2）=f（1）+f（1）=4，
∵f（x）-f（3-x）＜4，
∴f（x）＜f（2）+f（3-x）=f（5-x），
∴x＜5-x，解得x$＜\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了抽象函数的性质，函数奇偶性的判断，函数单调性的应用，属于中档题．