Question

18．已知函数f（x）=（x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）e^x，则方程4e²[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0（t∈R）的根的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 随t的变化而变化

Answer 1

分析 作出函数f（x）的大致图象，分析关于f（x）这一整体的二次方程根的情况，依据根的情况分类讨论．

解答 解：∵f′（x）=（x+2）（x-$\frac{1}{2}$）e^x，
且f（-2）=$\frac{9}{{2{e^2}}}$，f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$，
f（x）的大致图象如图，
令t=f（x），
设方程4e²m²+tm-9$\sqrt{e}$=0的两根为m₁，m₂，
则m₁m₂=-$\frac{{9\sqrt{e}}}{{4{e^2}}}$=f（-2）f（$\frac{1}{2}$），
若m₁=$\frac{9}{{2{e^2}}}$，m₂=$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$，有三根；
若0＜m₁＜$\frac{9}{{2{e^2}}}$有三根，此时m₂＜$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$无根，也有三根，
当m₁＞$\frac{9}{{2{e^2}}}$有1根，此时$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$＜m₂＜0有两根，也有三根，
故选B．

点评 考查利用导函数分析出的单调性、极值作简图，考查复合函数的零点问题．利用换元法简化方程，考查数形结合．作图、分析根个数，难度较大，属于难题．