Question

已知函数f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx．
（1）若a=0，讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出a=0时的函数的导数，求出单调区间，注意定义域；
（2）求出函数的导数，令g（x）=4x²+2ax-1，通过求根公式，求出两根，再令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值点．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=x²-

1

2

lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-

1

2x

=

(2x-1)(2x+1)

2x

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

2

，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
即有f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（0，

1

2

）；
（2）函数f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx的导数为f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

，（x＞0），令g（x）=4x²+2ax-1，
由于判别式△=4a²+16＞0，则g（x）=0有两个不等的实数根，且为一正一负，
令x₁=

-a+ a2+4

4

，x₂=

-a- a2+4

4

，可得x₁＞0，x₂＜0，
令f′（x）＞0，解得，x＞x₁，令f′（x）＜0，解得，0＜x＜x₁，
则f（x）在x=x₁=

-a+ a2+4

4

处导数左负右正，取得极小值，无极大值点．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于中档题．