Question

如果有穷数列满足条件:
即,我们称其为“对称数列”.例如:数列1,2,3,3,2,1 和数列1,2,3,4,3,2,1都为 “对称数列”。已知数列是项数不超过的“对称数列”，并使得依次为该数列中连续的前项，则数列的前2009项和所有可能的取值的序号为  (     )
①②③④

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

D

由于新定义了对称数列，且已知数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列{b_n}的前2009项和需分情况讨论，然后利用等比数列的前n项和定义直接可求得，从而判断①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，在利用减法得到需要的前2009项的和，即可判断．
解：因为数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S₂₀₀₉==2²⁰⁰⁹-1，所以①正确；
当1004≤m-1＜2008时，S₂₀₀₉=2=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
当1004≤m-1＜2008时，所以S₂₀₀₉=2=3?2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正确．
故选D．