Question

12．若定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）＞0，f（1）=0，则不等式f（2-x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$•f（x），对其求导分析可得g′（x）＞0，即函数g（x）为增函数，分析可得g（1）=0，进而分析可得若f（2-x）＞0，则有2-x＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，设函数g（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$•f（x），（x＞0），
g′（x）=（${x}^{\frac{1}{2}}$）′•f（x）+${x}^{\frac{1}{2}}$•f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$×[$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）]，
又由函数f（x）满足$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）为增函数，
又由f（1）=0，则有g（1）=$\sqrt{1}$×f（1）=0，
分析可得：f（x）＞0?g（x）＞0⇒g（x）＞g（1）⇒x＞1，
若f（2-x）＞0，则有2-x＞1，即x＜1，
即不等式f（2-x）＞0的解集是（-∞，1）；
故选：A．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系以及转化法求不等式的解集，关键是根据题目的条件构造新函数．