Question

7．[选做一]在极坐标系中，直线ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2被圆ρ=2$\sqrt{2}$截得的弦长为4．

Answer 1

分析 求出直线的直角坐标方程和圆的直角坐标方程，从而求出圆的圆心，半径，进而求出圆心（0，0）到直线的距离d，由此能求出弦长．

解答 解：∵直线ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2，
∴$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（sinθ+cosθ）$=2，
∴ρsinθ+ρcosθ=2$\sqrt{2}$，
∴直线的直角坐标方程为$x+y=2\sqrt{2}$．
∵圆ρ=2$\sqrt{2}$的直角坐标方程为x²+y²=8，
∴圆的圆心为（0，0），半径为r=2$\sqrt{2}$，
圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{|0+0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，
∴弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{8-4}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查直线截圆得到的弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．