Question

17．设奇函数f（x）（x∈R）的导函数是f′（x），f（2）=0，当x＞0时，xf′（x）＞f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，对g（x）求导并判断函数g（x）的单调性与奇偶性，分x＞0与x＜0两种情况求出不等式的解集，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则其导数g′（x）=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
又由当x＞0时，xf′（x）＞f（x），则有g′（x）=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又由g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），则函数g（x）为偶函数，
又由当x＞0时，函数g（x）为增函数，则x＜0时，函数g（x）是减函数，
又由f（2）=0，g（2）=g（-2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
故x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x＞-2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性，关键是构造函数g（x），并分析函数g（x）的奇偶性、单调性．