Question

2．某校随机调查80名学生，以研究学生爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的2×2列联表：

	爱好	不爱好	合计
男	20	30	50
女	10	20	30
合计	30	50	80

（Ⅰ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据表中数据，能否认为爱好羽毛球运动与性别有关？

P（x2≥k）	0.050	0.010
k	3.841	6.635

附：x²=$\frac{n{{（n}_{11}n}_{22}{{-n}_{12}n}_{21}）}{{n}_{1+}•{n}_{2+}•{n}_{+1}•{n}_{+2}}$．

Answer 1

分析 （I）由题意知X～B（3，$\frac{3}{8}$），计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；
（II）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．

解答 解：（I）任一学生爱好羽毛球的概率为$\frac{3}{8}$，故X～B（3，$\frac{3}{8}$）；
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$×${（\frac{5}{8}）}^{3}$=$\frac{125}{512}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{8}$×${（\frac{5}{8}）}^{2}$=$\frac{225}{512}$，
$P（X=2）=C_3^2×{（{\frac{3}{8}}）^2}×{（{\frac{5}{8}}）^1}=\frac{135}{512}$，
$P（X=3）=C_3^3×{（{\frac{3}{8}}）^3}=\frac{27}{512}$；
所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

随机变量X的数学期望为$E（X）=3×\frac{3}{8}=\frac{9}{8}$；…（8分）
（II）因为${Χ^2}=\frac{{80×{{（20×20-10×30）}^2}}}{30×50×30×50}=\frac{16}{45}≈0.3556＜3.841$，
所以没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关．…（12分）

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．