Question

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$（m∈R，x＞m）．
（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）+m≥0恒成立，可得$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$+m≥0，化为：x²+mx+3-m²≥0，令g（x）=x²+mx+3-m²，（x＞m），通过对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（2）f（x）的最小值为6，f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$≥6，对于m∈R，x＞m恒成立，可得x²-6x+9≥6-6m，即（x-3）²≥6-6m，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）+m≥0恒成立，∴$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$+m≥0，化为：x²+mx+3-m²≥0，
令g（x）=x²+mx+3-m²，（x＞m），
g′（x）=2x+m，
令g′（x）=2x+m=0，解得x=-$\frac{m}{2}$．
①m≥0时，m＞-$\frac{m}{2}$，则g（x）在（m，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（m）=m²+3＞0，满足条件．
②m＜0时，m＜-$\frac{m}{2}$，则g（x）在x=-$\frac{m}{2}$时取得最小值，
∴$g（-\frac{m}{2}）$=$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$+3-m²≥0，解得：$-\frac{2\sqrt{15}}{5}$≤m＜0．
综上可得：m的取值范围是$[-\frac{2\sqrt{15}}{5}，+∞）$．
（2）∵f（x）的最小值为6，f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x-m}$≥6，对于m∈R，x＞m恒成立，
∴x²-6x+9≥6-6m，即（x-3）²≥6-6m，
①m≥1时，6-6m≤0，x＞m时，（x-3）²≥0，此时恒成立．
②m＜1时，x=3时，6m-6≥0，解得m≥1舍去．
综上可得：m≥1．
∴f（x）的最小值为6时，m=1．

点评 本题考查了函数恒成立问题、利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．