Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若

AF

=4

FB

，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，则另一渐近线OB的方程为y=-

b

a

x，设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），由

AF

=4

FB

，得到m，n的关系，求出A，B的坐标，由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得a、b的关系式，结合双曲线a、b、c的关系，可得离心率．

解答： 解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=

b

a

x，
则另一渐近线OB的方程为y=-

b

a

x，
设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），
∵

AF

=4

FB

，
∴（c-m，-

bm

a

）=4（n-c，-

bn

a

），
∴c-m=4（n-c），-

bm

a

=-4

bn

a

，解之可得m=

5c

2

，n=

5c

8

，
∴B（

5c

8

，-

5bc

8a

），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，
即

-5bc 8a -0

5c 8 -c

•

-5bc 8a

5c 8

=-1，化简可得5b²=3a²，即5（c²-a²）=3a²，
解之可得5c²=8a²，即e=

c

a

=

2 10

5

．
故答案为：

2 10

5

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，考查向量共线知识，属中档题．