Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=

6

，
E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．
（1）证明：AC⊥BF；
（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F-ACD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）得出PO⊥面ABCD，AC⊥PO，AC⊥面PBD，判断即可AC⊥BF，
（2）得出比例线段

DG

DE

=

DF

DP

，

EC

AD

=

GE

DG

=

1

2

，

DG

DE

=

2

3

，运用体积公式求解即可v_F-ACD=

1

3

S_△ACD•FH

解答： 解：（1）连接BD，设AC∩BD=0，连接PO，

则PO⊥面ABCD，
∴AC⊥PO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，BD∩OP=O
∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BF，
（2）连接DE交AC于G点，连接FG，
∵PE∥平面ACF，∴PE∥FG
∴

DG

DE

=

DF

DP

，
又CE=

1

2

BC=

1

2

AD，BC∥AD
∴

EC

AD

=

GE

DG

=

1

2

，∴

DG

DE

=

2

3

，
过F作FH⊥DB垂足为H则FH∥OP
∴

FH

OP

=

DF

DP

=

2

3

，
∴FH=

2

3

OP=

4

3

∴v_F-ACD=

1

3

S_△ACD•FH=

1

3

×

1

2

×22×

4

3

=

8

9

．

点评：本题考查了空间几何体的性质，线面的垂直，体积的求解，属于中档题，关键是确定几何题的高，底面积，难度不大．