Question

已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当且仅当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对定义域内任意x，y，都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）证明函数f（x）为奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上单调递减；
（3）求满足不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，即有f（0）=0，由于定义域为（-1，1）关于原点对称，令y=-x，则由奇偶性的定义，即可得证；
（2）可运用单调性的定义先证（0，1）上的单调性，注意运用条件0＜x＜1时，f（x）＜0，由于函数f（x）是（-1，1）上的奇函数，即可得证；
（3）由f（x）为奇函数，则不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0即为f（3-2x）＜f（4-3x），再由单调性，列出不等式组，解出它们，求交集即可．

解答： （1）证明：令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），即有f（0）=0，
由于定义域为（-1，1）关于原点对称，
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（2）证明：令0＜x₁＜x₂＜1，则0＜x₂-x₁＜1，1-x₁x₂＞0，
x₂-x₁-1+x₁x₂=（1+x₁）（x₂-1）＜0，即有0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1．
则f（

x2-x1

1-x1x2

）＜0，
令x=x₂，y=-x₁，则f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

）＜0，
即有f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
则有f（x）在（0，1）内是单调递减函数，
由于函数f（x）是（-1，1）上的奇函数，
则f（x）在（-1，0）上也是单调递减函数，
且f（0）=0，函数f（x）在（-1，1）上连续，
故f（x）在（-1，1）上单调递减；
（3）解：由f（x）为奇函数，则
不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0
即为f（3-2x）＜-f（3x-4）=f（4-3x），
再由f（x）在（-1，1）上单调递减，
则

-1＜3-2x＜1 -1＜4-3x＜1 3-2x＞4-3x

，即有

1＜x＜2 1＜x＜ 5 3 x＞1

，
则1＜x＜

5

3

．
故所求的x的取值范围是（1，

5

3

）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．