Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点P(

2

2

，

1

2

)，记椭圆的左顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点P(

2

2

，

1

2

)，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点P(

2

2

，

1

2

)，
∴

c

a

=

2

2

，

1 2

a2

+

1 4

b2

=1，
∴a=1，b=c=

2

2

，
所以椭圆C的方程为x²+2y²=1；
（2）设B（m，n），C（-m，n），则S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，
又1=m²+2n²≥2

2

|m|•|n|，所以|m|•|n|≤

2

4

，当且仅当|m|=

2

|n|时取等号…8分
从而S_△ABC≤

2

4

，即△ABC面积的最大值为

2

4

．

点评：本题考查椭圆的性质与方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．