Question

已知函数f（x）=ax³-3x．
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax³-3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=-3x，
∴f（x）的单调减区间是R；
当a≠0时，
∵f（x）=ax³-3x，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），
∴当a＞0时，
由f′（x）＞0得：x＞

a

a

或x＜-

a

a

，
由f′（x）＜0得：-

a

a

＜x＜

a

a

当a＜0时，由f′（x）＞0得：x∈∅
由f′（x）＜0得：x∈R；
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-

a

a

），（

a

a

，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（-

a

a

，

a

a

），）；
当a＜0时函数f（x）的单调递减区间为R；
（2）f′（x）=3ax²-3．
①当a≤0时，f′（x）≤0，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合a≤0，应舍去；
②当a＞0时，令f′（x）=3a（x+

1

a

）（x-

1

a

）=0，解得x=±

1

a

．
当2≤

1

a

时，即0＜a≤

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合0＜a≤

1

4

时，应舍去；
当1＜

1

a

＜2时，即

1

4

＜a＜1时，f（x）在区间[1，

1

a

]单调递减，在区间[

1

a

，2]单调递增，
∴f（x）min=f（

1

a

）=-

2

a

=4，无解，应舍去；
当

1

a

≤1时，即a≥1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=a-3=4，解得a≥7，符合题意．
综上可知：实数a的范围a≥7．

点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于中档题．