Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N，则f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的公式，寻找规律，利用归纳推理进行求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，
f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，
f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，
…，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$，
故答案为：$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．