Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N₊）．
（Ⅰ）求证：数列{

an

n

}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{2ⁿ⁺¹a_n+1}的前n项和为T_n，求

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明数列{

an

n

}是等比数列；
（Ⅱ）求出数列{2ⁿ⁺¹a_n+1}的前n项和为T_n，利用裂项法求

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n=2-（

2

n

+1）a_n，
∴n≥2时，S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
两式相减，整理可得

an

n

=

1

2

•

an-1

n-1

，
n=1时，a₁=

1

2

，
∴数列{

an

n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

n

=

1

2n

，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1=2n+1，
∴T_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，考查裂项法的运用，属于中档题．