Question

已知焦点在x轴上的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长为4，且点（1，

3

2

）在该椭圆上．直线l：x=my+1与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=kx（k＞0）与椭圆交于不同的两点C，D，当m=-1时，求四边形ABCD 面积的最大值；
（3）在x轴上是否存在点M，使得直线MA与直线MB的斜率之积为定值．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用长轴长为4，且点（1，

3

2

）在该椭圆上，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）表示出四边形ABCD的面积，利用导数求出最大值；
（3）直线x=my+1代入椭圆方程，表示出直线MA与直线MB的斜率之积，即可得出结论．

解答： 解：（1）由已知a=2，
点（1，

3

2

）代入椭圆方程，可得b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）x=-y+1代入椭圆方程可得5x²-8x=0，∴A（0，1），B（1.6，-0.6）．
y=kx代入椭圆方程可得（1+4k²）x²=4，
∴|CD|=

1+k2

•

4

1+4k2

，
∴S_ABCD=

1

2

|CD|（d_A-CD+d_b-CD）=

16

5

•

k+1

1+4k2

，
令f（x）=

x+1

4x2+1

，则f′（x）=

1-4x

( 4x2+1 )3

∴f（x）在（0，

1

4

）上递增，在（

1

4

，+∞）上递减，
∴k=

1

4

时，四边形ABCD面积的最大值为

8 5

5

；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），则
直线x=my+1代入椭圆方程，可得（m²+4）y²+2my-3=0
∴k_MA•k_MB=

y1

x1-x0

•

y2

x2-x0

=

-3

(x02-4)m2+4(1-x0)2

，
∴x₀=2时，直线MA与直线MB的斜率之积为定值-

1

12

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．