Question

如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=

2

，∠ABC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻拆成△B₁AE，使得平面B₁AE⊥平面AECD，连接B₁D，P是线段B₁D上的点，且满足

B1P

=λ

B1D

．
（Ⅰ）λ=

1

2

时，求证CP⊥平面AB₁D；
（Ⅱ）若平面AB₁E与平面PAC所成的二面角的余弦值为

11

11

，求AP与平面AB₁E所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以E为原点，EC，EA，EB所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CP⊥平面AB₁D．
（Ⅱ）求出平面APC的一个法向量和平面AB₁E的一个法向量，利用向量法能法语出AP与平面AB₁E所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面B₁AE⊥平面AECD，且B₁E⊥AE，
∴B₁E⊥平面AECD，
以E为原点，EC，EA，EB所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），A（0，1，0），
D（2，1，0），B₁（0，0，1），
当λ=

1

2

时，P（1，

1

2

，

1

2

），
则

CP

=（0，

1

2

，

1

2

），

AB1

=（0，-1，1），

AD

=（2，0，0），
∴

CP

•

AD

=0，

CP

•

AB1

=0，
∴CP⊥AD，CP⊥AB，
∴CP⊥平面AB₁D．
（Ⅱ）解：设P（x₀，y₀，z₀），则

B1P

=（x₀，y₀，z₀-1），

B1D

=（2，1，-1），
由

B1P

=λ

B1D

，得：

x0=2λ y0=λ z0=1-λ

，
∴P（2λ，λ，1-λ），

AP

=（2λ，λ-1，1-λ），

AC

=（1，-1，0），
设平面APC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AP =2λx+(λ-1)y+(1-λ)z=0 n • AC =x-y=0

，
得

y=x z= 3λ-1 λ-1 x

，则

n

=（1，1，

3λ-1

λ-1

），
平面AB₁E的一个法向量为

m

=（1，0，0），
∵平面AB₁E与平面PAC所成的二面角的余弦值为

11

11

，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

1+1+( 3λ-1 λ-1 )2

=

11

11

，解得λ=

2

3

．
∴

AP

=（

4

3

，-

1

3

，

1

3

），
设AP与平面AB₁E所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

m

，

AP

＞|=

4 3

16 9 + 1 9 + 1 9

=

2 2

3

，
∴cosθ=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

．
∴AP与平面AB₁E所成角的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．