题目内容

某水库进入汛期后的水位升高量h（n）（单位：标高）与进入讯期的天数n的关系是h（n）=20
5m2+6n
，汛期共计40天，刚进入汛期时水库水位为220（标高），而水库警戒线水位是400（标高），水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水库的水位下降4（标高）．
（1）若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？
（2）若要保证水库安全，则在进入讯期的第一天起每天开启p个水闸泄洪，求p的最小值．
（参考数据：2.272≈5.15，2.312≈5.34）
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（1）进入汛期的水库水位标高f（n）=20
5n2+6n
+220．令20
5n2+6n
+220＞400，可得结论；
（2）设每天开启p个水闸泄洪，则f（n）=20
5n2+6n
++220-4np，令20
5n2+6n
++220-4np≤400，即p≥
5
5n2+6n
-45
n
=5（
5+
6
n
-
9
n
），证明函数g（n）=
5+
6
n
-
9
n
为增函数，即可得出结论．
解答： 解：（1）进入汛期的水库水位标高f（n）=20
5n2+6n
+220．
令20
5n2+6n
+220＞400，整理得5n2+6n＞81，代值验证得n≥4，所以，在第4天会发生危险．
（2）设每天开启p个水闸泄洪，则f（n）=20
5n2+6n
+220-4np，
令20
5n2+6n
+220-4np≤400，
即p≥
5
5n2+6n
-45
n
=5（
5+
6
n
-
9
n
）
下面证明函数g（n）=
5+
6
n
-
9
n
为增函数．
事实上，令g（x）=
5+
6
x
-
9
x
（x≥1），
g′（x）=
3
x3
（3-
1
5+
6
x
）．
当x≥1时，g′（x）＞0，∴g（x）在x≥1时为增函数，
所以g（n）=
5+
6
n
-
9
n
为增函数．  
于是g（n）max=g（40）=p≥5×2.04=10.20．
故知每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全，p的最小值为11．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．
练习册系列答案
相关题目
一元二次不等式（x-1）（x-3）＜0的解集是（　　）
A、（-∞，1）
B、（1，3）
C、（3，+∞）
D、（-∞，1）∪（3，+∞）
已知f（x）=sin2x+sin2（x-
π
12
）+sin2（x+
π
12
），△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边．
（Ⅰ）若x∈[-1，1]，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a=2
3
，B=
π
4
，f（A）=
7+
3
4
，求△ABC的面积．
设圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及抛物线C2的方程；
（Ⅱ）若P在抛物线C2在两点O，R之间的部分运动，其中O为坐标原点，直线l过点P且与抛物线C2只有一个公共点，l与圆C1相交于两点A，B，求△OAB的面积的取值范围．
若抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点B2，与轴的右半轴交于点A2，椭圆的左、右焦点为F1、F2，且3|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
|
OB2
|
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点D（0，2）的直线，斜率为k（k＞0），与椭圆交于M，N两点．
（i）若M，N的中点为H，且存在非零实数，使得
OH
=λ
A2B2
，求出斜率k的值；
（ii）在轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？若存在求出m的范围，若不存在，请说明理由．
某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200辆超速车辆的速度进行测量并分组，并根据测得的数据制作了频率分布表如下，若以频率作为事件发生的概率．
组号超速分组频数频率
频率
组距
1[0，20%）1760.08 z
2[20%，40%）120.060.30
3[40%，60%）6y0.15
4[60%，80%）40.020.10
5[80%，100%]x0.010.05
（Ⅰ）求x，y，z的值，并估计该地区的超速车辆中超速不低于20%的频率；
（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名司机做回访调查，并在这12名司机中任意选3人，求这3人中超速在[20%，80%）之间的人数的数学期望．
已知数列{an}的前n项和为Sn=2-（
2
n
+1）an（n∈N+）．
（Ⅰ）求证：数列{
an
n
}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{2n+1an+1}的前n项和为Tn，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．
已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x-
6
的距离为
3
-
2
2
，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．
过点P（1，2），且与直线3x+2y-1=0垂直的直线方程是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网