题目内容

已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则
DE
•
DC
的最大值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：根据数量积的定义，
DE
•
DC
等于|
DC
||
DE
|cos＜
DE
，
DC
＞，要求最大值，只需求出
DC
上的投影|
DE
|cos＜
DE
，
DC
＞取到最大值即可．
解答： 解：由题意，正方形ABCD的边长为1，|
DC
|=1
∵
DE
•
DC
等于|
DC
||
DE
|cos＜
DE
，
DC
＞，
∴当
DC
上的投影|
DE
|cos＜
DE
，
DC
＞取到最大值时，
DE
•
DC
取到最大值，
又因为点E是AB边上的动点，当点E与点B重合时，投影|
DE
|cos＜
DE
，
DC
＞取到最大值1，
∴
DE
•
DC
的最大值为1．
故答案为：1．
点评：本题考查数量积的运算，将问题转化为求投影的最大值是解本题的关键．
练习册系列答案
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想造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小屋，正面墙的造价为400元/m2，侧面墙的造价为150元/m2，屋顶和地面造价费用合计5800元，如果墙高均为3m，且不计背面墙的费用，问：侧面墙长度为多少时，总造价最低？最低造价为多少？
若抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点B2，与轴的右半轴交于点A2，椭圆的左、右焦点为F1、F2，且3|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
|
OB2
|
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点D（0，2）的直线，斜率为k（k＞0），与椭圆交于M，N两点．
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OH
=λ
A2B2
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已知数列{an}的前n项和为Sn=2-（
2
n
+1）an（n∈N+）．
（Ⅰ）求证：数列{
an
n
}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{2n+1an+1}的前n项和为Tn，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．
已知函数f（x）=ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn-lnm＞
m
n
-
n
m
；
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．
已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x-
6
的距离为
3
-
2
2
，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=16，S5=60．数列{an}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=
an(n为奇数)
1
6
anbn(n为偶数)
，求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．
设函数g（x）=x2-2x+1+mlnx，（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求过点P（0，1）且与曲线y=g（x）-（x-1）2相切的切线方程
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（Ⅲ）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin
[g(a)]
[g(b)]
与cos[g（a）][g（b）]的大小．
在△ABC中，其三条边的长为a，b，c，且（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则此三角形的最大内角的大小为
 
．

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