Question

已知函数y=lgx•lg（ax）（

1

10

≤x≤10）的最小值为2，求a的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，根据对数的运算性质，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数对称轴与区间的关系，即可得到结论．

解答： 解：y=lgx•lg（ax）=y=lgx•（lgx+lga）=lg²x+lga•lgx，
设t=lgx，则函数等价为y=g（t）=t²+lga•t，
∵

1

10

≤x≤10，
∴-1≤lgx≤1，即-1≤t≤1，
函数的对称轴为x=-

lga

2

，
若-

lga

2

≤-1，即lga≥2时，最小值为g（-1）=1-lga=2，
∴lga=-1，此时不成立．
若-

lga

2

≥-1，即lga≤2时，最小值为g（1）=1+lga=2，
解得lga=1，此时a=10．

点评：本题主要考查对数的基本运算以及二次函数的图象和性质，利用换元法是解决本题的关键．