Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，

1

2

]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；
（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；
（3）f（x+3）＜2x+a可化为a＞x²+5x在x∈[0，

1

2

]恒成立，转化为a＞（x²+5x）_max，求最值即可．

解答： 解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）-f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=-2，
（2）令y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x²+x-2，
（3）x∈[0，

1

2

]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，即x∈[0，

1

2

]时，a＞x²+5x恒成立．
∴a＞（x²+5x）_max，
因为x²+5x在[0，

1

2

]单调增，所以最大值为

11

4

．
所以a的范围是a＞

11

4

．

点评：抽象函数的求解问题，合理赋值是解答的关键，函数恒成立求参数取值范围问题一般要转化为最值问题．