Question

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

(1).  (2) 的斜率为定值.

试题分析：(1)设椭圆的方程为，
由. ,即可得.
(2) 当时，、的斜率之和为0.
设直线的斜率为, 则的斜率为,的直线方程为, 的直线方程为,分别与椭圆方程联立，应用韦达定理，确定坐标关系，通过计算
 ,
得到结论.
试题解析：(1)设椭圆的方程为
则. 由,得，
∴椭圆C的方程为.                      5分
(2) 当时，、的斜率之和为0,设直线的斜率为, 
则的斜率为,的直线方程为, 
由 整理得
,          9分
  ,
同理的直线方程为,
可得 
∴ ,              12分
 ,
所以的斜率为定值.                     13分