题目内容
如图,已知△OFQ的面积为S,且·=1.设||=c(c≥2),S=c.若以O为中心,F为一个焦点的椭圆经过点Q,当||取最小值时,求椭圆的方程.
=1
以O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为=1(a>b>0),Q(x,y).=(c,0),则=(x-c,y).∵||·y=c,∴y=.
又∵·=c(x-c)=1,∴x=c+.则||=(c≥2).
可以证明:当c≥2时,函数t=c+为增函数,
∴当c=2时,||min=,此时Q.将Q的坐标代入椭圆方程,得解得∴椭圆方程为=1.
又∵·=c(x-c)=1,∴x=c+.则||=(c≥2).
可以证明:当c≥2时,函数t=c+为增函数,
∴当c=2时,||min=,此时Q.将Q的坐标代入椭圆方程,得解得∴椭圆方程为=1.
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