题目内容

已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于AB两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△的面积.
(1);(2).

试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就是要求得,因此我们要寻找关于的两个等式,本题中有离心率,是一个等式,另一个是椭圆过点,即,再结合可解得,得到标准方程;(2)要求△的面积,应该先确定位置,也即确定直线,我们可以设的方程为,条件是以为底边的等腰三角形怎么应用?这个条件用得较多的是其性质,三线合一,即取的中点,则有,我们就用这个来求出参数的值,方法是设的中点为,把直线方程代入椭圆方程,可得,从而求出表示,再由可很快求得,以后就可得到点的坐标,求出面积.
试题解析:(1)由已知得.              1分
解得.又,所以椭圆G的方程为.     4分
(2)设直线l的方程为.
.  ①             6分
AB的坐标分别为AB中点为E
.                     8分
因为AB是等腰△的底边,
所以PEAB.所以PE的斜率,解得m=2.        10分
此时方程①为,解得
所以,所以|AB|=.
此时,点P(-3,2)到直线AB的距离
所以△的面积S=.                        12分
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