Question

10．某工厂制造一批无盖长方体容器，已知每个容器的容积都是9立方米，底面都是一边长为2米，另一边长为x米的长方形，如果制造底面的材料费用为2a元/平方米，制造侧面的材料费用为a元/平方米，设计时材料的厚度忽略不计．
（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；
（2）如何设计容器的底面边长x（单位：米）的尺寸，使其成本最低？

Answer 1

分析 （1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，从而写出该容器成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；
（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和对应的x的值．

解答 解：（1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=$\frac{9}{2x}$，-------------3分
容器的侧面积为4h+2xh，容器底面积为2x，
所以y=4ax+a（4h+2xh）=2a（2x+$\frac{9}{x}$）+9a（x＞0）-----------------------8分
（2）令f（x）=2x+$\frac{9}{x}$（x＞0），所以2x+$\frac{9}{x}$≥6$\sqrt{2}$，-------------------------------------------10分
当且仅当2x=$\frac{9}{x}$，即x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，函数取得最小值．-------------------------------------------12分
答：当容器底面边长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$米时，其成本最低．-------------------------------------------14分

点评 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，考查数学建模思想的运用，属于中档题．