Question

18．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为4，D是侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）在线段AB₁上是否存在一点M，使得DM∥平面ABC，若存在，求出AM的长．若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB，AB₁的中点分别为N，M，连接NM，NC，证明四边形NMDC是平行四边形，即可；
（Ⅱ）根据线面角的定义作出直线和平面所成角的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在线段AB₁上存在一点M，使得DM∥平面ABC，
如图，取AB，AB₁的中点分别为N，M，连接NM，NC，
则NM∥BB₁∥DC．且NM=$\frac{1}{2}$BB₁=DC，
∴四边形NMDC是平行四边形，
∴MD∥NC，
∵NC?平面ABC，MD?平面ABC，
∴DM∥平面ABC，此时AM=$\frac{1}{2}$AB₁=2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）取A₁C₁的中点E，连接B₁E，
∴B₁E⊥A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁E，
又AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，
连接AE，则AE是AB₁在平面ACC₁A₁内的射影，
∴∠B₁AE是AB₁与平面ACC₁A₁所成的角，
在直角三角形B₁AE中，B₁E=2$\sqrt{3}$，AB₁=4$\sqrt{2}$，
则sin∠B₁AE=$\frac{{B}_{1}E}{A{B}_{1}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查线面平行的定理的应用以及直线和平面所成角的求解，利用相应的判定定理以及线面角的定义作出平面角是解决本题的关键．