Question

15．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=-$\frac{1}{4}$x²+6（-4≤x≤4）．
（1）求tan∠AEB的值；
（2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角正切公式求tan∠AEB的值；
（2）利用向量的数量积公式，求出cos∠APB，利用面积公式求出sin∠APB，可得tan∠APB，利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）由题意：E（0，6），B（4，0），
∴$tan∠BEO=\frac{BO}{EO}=\frac{2}{3}$，
∴$tan∠AEB=tan2∠BEO=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{1-{{（\frac{2}{3}）}^2}}}=\frac{12}{5}$，…（5分）
（2）设P（x₀，y₀），2≤y₀≤6，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-4-{x_0}，-{y_0}）•（4-{x_0}，-{y_0}）={x_0}^2-16+y_0^2=y_0^2-4{y_0}+8$，
∴$|\overrightarrow{PA}|•\overrightarrow{|PB}|cos∠AFB=y_0^2-4{y_0}+8$，∴$cos∠AFB=\frac{{y_0^2-4{y_0}+8}}{{|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PB}}|}}$…（8分）
∵${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PA}|•\overrightarrow{|PB}|sin∠APB=\frac{1}{2}•8•{y_0}$，∴$sin∠APB=\frac{{8{y_0}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PB}}|}}$
∴$tan∠APB=\frac{sin∠APB}{cos∠APB}=\frac{{8{y_0}}}{{{y_0}^2-4{y_0}+8}}═\frac{8}{{（{y_0}+\frac{8}{y_0}）-4}}≤\frac{8}{{4\sqrt{2}-4}}=2\sqrt{2}+2$…（12分）
∵2≤y₀≤6，∴当且仅当${y_0}=2\sqrt{2}$时tan∠APB最大，即∠APB最大．
答：位置P对隧道底AB的张角最大时P到AB的距离为$2\sqrt{2}$米．     …（14分）

点评 本题考查二倍角正切公式，考查基本不等式，确定tan∠APB，正确运用基本不等式是关键．