Question

（本小题满分14分）

在正三棱柱中，点是的中点，．

（1）求证：∥平面；

（2）试在棱上找一点，使．

Answer 1

（1）详见解析（2）为的中点．

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行证明，即先从线线平行出发，这可利用三角形中位线性质进行证明：连接，交于点,则、分别是、的中点，所以∥．从而可证∥平面．（2）找一点目的是证线线垂直，故从垂直角度找：利用正方形性质，边的中点与对边顶点连线存在垂直关系，故取为的中点．再根据线面垂直判定及性质定理进行论证.

试题解析：（1）证明：连接，交于点, 连接.

∵、分别是、的中点，

∴∥． 3分

∵平面，平面，

∴∥平面． 6分

（2）为的中点． 7分

证明如下：

∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．

∵为的中点，是的中点，∴， 9分

∴，．

又∵，

，∴． 11分

∵是正三角形，是的中点，

∴．

∵平面平面, 平面平面，平面，

∴平面．

∵平面，

∴． 13分

∵，

∴平面．

∵平面，

∴． 14分

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定及性质定理