Question

已知k∈R且k≠1，直线l₁：y=

k

2

x+1和l₂：y=

1

k-1

x-k．
（1）求直线l₁∥l₂的充要条件；
（2）当x∈[-1，2]时，直线l₁恒在x轴上方，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（1）利用斜率存在的两条直线平行的充要条件

k 2 = 1 k-1 1≠-k

解得即可．
（2）法1：利用直线的单调性即可得出；
法2：通过对斜率分类讨论，再利用单调性即可得出．

解答： 解：（1）由题意得

k 2 = 1 k-1 1≠-k

解得k=2．
当k=2时，l₁：y=x+1，l₂：y=x-2，
此时l₁∥l₂．     
（2）设f(x)=

k

2

x+1．
法1：由题意得

f(-1)＞0 f(2)＞0

，即

k 2 ×(-1)+1＞0 k 2 ×2+1＞0

，解得-1＜k＜2．
法2：

k＞0 f(-1)＞0

或

k＜0 f(2)＞0

，解得-1＜k＜2．

点评：本题考查了斜率存在的两条直线平行的充要条件、直线的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．