Question

（1）若命题：“?x∈R，使得x²+（1-a）x+1＜0”是真命题，求实数a的取值范围．
（2）已知命题p：|1-

x-1

3

|≤2，命题q：（x-1+m）（x-1-m）≤0（m＞0），且命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,特称命题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由“?x∈R，使得x²+（1-a）x+1＜0”是真命题，可得△＞0，解得即可．
（2）由：|1-

x-1

3

|≤2，化为-2≤

x-1

3

-1≤2，解出即可．对于命题q：（x-1+m）（x-1-m）≤0（m＞0），利用一元二次不等式的解法即可，由q是p的必要不充分条件，即p⇒q．解出即可．

解答： 解：（1）∵“?x∈R，使得x²+（1-a）x+1＜0”是真命题，∴△＞0，解得a＜-1或a＞3．
∴实数a的取值范围是a＜-1或a＞3．
（2）由：|1-

x-1

3

|≤2，化为-2≤

x-1

3

-1≤2，解得-2≤x≤10．即命题p为：[-2，10]．
而q为：（x-1+m）（x-1-m）≤0（m＞0），
∵m＞0，1-m＜1+m，解得1-m≤x≤1+m．
又q是p的必要不充分条件，即p⇒q．
∴

1-m≤-2 1+m≥10

，解得m≥9．
即实数m的取值范围为[9，+∞）．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、一元二次不等式的解法、含绝对值的不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．