Question

8．定义域为[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{a^x}{a^{2x}+1}$（a＞1）．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的关系令x=1，即可求f（1）的值；
（2）根据函数奇偶性的性质利用对称性即可求函数f（x）的解析式；
（3）根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可求函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵定义域为[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0…（3分）
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
则f（x）=-f（-x）=-$\frac{{a}^{-x}}{{a}^{-2x}+1}$=-$\frac{a^x}{a^{2x}+1}$，…（5分）
又∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}，}&{x∈（0，1）}\\{0，}&{x=1或±1}\\{-\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}，}&{x∈（-1，0）}\end{array}\right.$…（7分）
（3）∵当x∈（0，1）时，a^x∈（1，a）…（8分），
设t=a^x，y=t+$\frac{1}{t}$，1＜t＜a，
任取1＜t₁＜a，1＜t₂＜a，且t₁＜t₂，
则y（t₂）-y（t₁）=t₂+$\frac{1}{{t}_{2}}$-（t₁+$\frac{1}{{t}_{1}}$）=（t₂-t₁）+（$\frac{1}{{t}_{2}}$-$\frac{1}{{t}_{1}}$）=（t₂-t₁）•$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-1}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
∵1＜t₁＜a，1＜t₂＜a，且t₁＜t₂，
∴t₂-t₁＞0，t₂t₁＞1，
则y（t₂）-y（t₁）=（t₂-t₁）•$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-1}{{t}_{1}{t}_{2}}$＞0，
即y（t₂）＞y（t₁），
即函数y=t+$\frac{1}{t}$，在1＜t＜a上为增函数，
∴a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$∈（2，$\frac{{a}^{2}+1}{a}$），
∴$\frac{a^x}{a^{2x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}}$∈（$\frac{a}{{a}^{2}+1}$，$\frac{1}{2}$）．
∴函数f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{a}{{a}^{2}+1}$）∪{0}∪（$\frac{a}{{a}^{2}+1}$，$\frac{1}{2}$）．（12分）

点评 本题主要考查函数值以及函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．